Pengeoperasian Aljabar

1. Suku-Suku Pembentuk Dalam Aljabar

Koefisien adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada tiap-tiap suku. Contoh:

5x , artinya 5 adalah koefisien x

8y , artinya 8 adalah koefisien y

a², artinya 1 adalah koefisien a²

Variabel adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c, …. , x, y, z.

Contoh:

3p, artinya p adalah variabel dari 3

4q, artinya q adalah variabel dari 4

Konstanta merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.

Contoh konstanta dari operasi berikut:

5x + 2xy² + y – 35

Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).

Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau hanya konstanta.

Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.

Contoh: 5x – 2y, a + b²

Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak (polinom).

Contoh: a² + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy²

2. Klasifikasi dari Aljabar

A.    Aljabar Elementer

Aljabar elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain dari pada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, -, x, ) muncul juga dalam aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan symbol (seperti a, x, y, ). Hal ini sangat penting sebab: hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sitem bilangan riil.

Dengan menggunakan symbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variable yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”) . Hal ini juga mengijinkan kita untukmembuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda mnjual x tiket, kemudian anda mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagaif(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”).

B.     Aljabar Abstrak

Aljabar abstrak kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Stuktur Aljabar semacam Grup, ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.

C.     Aljabar Linier

Yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matrik).

D.    Aljabar Universal

Yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Stuktur aljabar.

3. Menyelesaikan Operasi Aljabar

Pada dasarnya, sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk–bentuk aljabar, sebagai berikut:

1.    Sifat Komutatif

a + b = b + a, dengan a  dan b bilangan riil.

2.    Sifat Asosiatif

  (a + b) + c = a + (b + c), dengan a, b dan c  bilangan riil.

3.      Sifat Distributif

a (b + c) = ab + ac, dengan a, b dan c  bilangan riil.

A.       Pengurangan pada Aljabar

Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar

a.       (4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15)

Jawab :

(4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15)

= 4p² – 8p² – 10p – 10p – 5 -15

= 4p² – 20p -20

b.      (10p – 8) – (8p -10)

Jawab :

10p – 8 – 8p + 10

= 2p + 2

B.  Penjumlahan pada Aljabar

Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada bentuk aljabar.

a.       (10x² + 6xy – 12) + (-4x²- 2xy + 10)

Jawab :

10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10

= 6x2 + 4xy -2

b.      7x + 3x = 10x

c.       8x² + 5x² = 13 x²

d.      –y² + 7y² = 6y²      

C.  Perkalian Aljabar

1. Perkalian suku satu dengan suku dua

Contoh soal:

a) 2(x + 3)                  b) –4(9 – y)                c) x(y + 5)             d) –9p(5p – 2q)

Jawab:

a)      2(x + 3) = 2x + 6

b)      –4(9 – y) = –36 + 4y

c)      x(y + 5) = xy + 5x

d)     –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

2. Perkalian suku dua dengan suku dua

Contoh soal :

a. (2x + 1)² =

b. (3x + 2)(3x + 1) =

c. (x-5)(2x-3) =

d. (x – 2)(x – 2) =

e. (x + 1)(x + 1) =

 Jawab :

a. (2x + 1)² = (2x + 1)(2x + 1) = 4x² + 4x + 1

b. (3x +2)(3x + 1) = 9x² + 3x + 6x + 1 = 9x² + 9x + 1

c.  (x-5)(2x-3) = 2x²-3x-10x + 15 = 2x² - 13x +15

 d. (x – 2)(x – 2) = x² – 2x – 2x + 4 = x² – 4x + 4

 e.  (x + 1)(x+1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1

D.  Pembagian Aljabar

Contoh soal :

a. 3x : 3 =                                            b. 6x² : 2x =

c. 8xyz : 4x =                                      d. 10pqr : 2p =

Jawab :

a. 3x : 3 = x                                                     c. 8xyz : 4x = 2yz

b. 6x² : 2x = 3x                                                d. 10pqr : 2p = 5qr

E.   Memfaktorkan bentuk Aljabar

Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.

a. x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

b.  x² – 3x + 2 = (x+1) (x+2)